端点效应¶

端点效应是用来解决恒成立问题的一个技巧. 譬如, 我们想要对于一个含参( $a$ )的 $f(x)$ (先移项构造出 $f(x)$ ), 满足 $f(x) \geq 0$ , 对 $\forall x \in [1,+\infty)$ 恒成立, 求其参数 $a$ 取值范围. 那么, 我们就可以考虑端点效应.具体来说, 我们需要保证 $f(x) \geq 0$ , 那么我们可以将端点 $1$ 带入 $f(x)$ 解析式, 一般来说有两种情况(如果 $f(1) < 0$ , 显然不成立):

$f(1) > 0$ , 得到一个不等式直接解参数 $a$ .
$f(1) = 0$ , 需要考虑一阶导函数 $f'(x)$ 在 $1$ 处的正负.

那么, 如果 $f'(1)$ 也为 $0$ 呢? 那么我们同理, 考虑求 $f''(1)$ , 看其是否为0, 从而判断 $f'(x)$ 在端点附近的变化趋势, 同时可以得到一个关于 $a$ 的不等式. 简单来说, 就是一直导到带入端点后的函数值非 $0$ 为止, 得到一个关于参数的不等式, 解出参数范围, 这样就可以 在端点处 符合题意了.

一般来说, 我们上面解出的参数取值范围一般就是最终结果了, 可是如何证明这个范围对于全部定义域均适用呢? 我们一般考虑证明参数取值范围的充分性(需要有"下面证明充分性"的字样).

那么如何证明呢? 注意到参数(设为 $a$ )仅出现少次, 且相比较于 $x$ 形式简单, 而且我们已经得到了关于 $a$ 的一个取值范围(必要条件), 所以考虑更换主元, 看做一个关于 $a$ 的函数. 然后我们分析这个函数的单调性(非单调函数端点效应可能失效), 就可以发现函数有单调性和最值, 而且最值一般都是在 $a$ 取到其边界情况的时候取得的, 然后直接带入边界情况的 $a$ , 如果当前情况成立那么就恒成立(因为有单调性), 所以就这样我们把参数 $a$ 消去了(也是端点效应最关键的用处), 只剩下很简单的函数恒成立最值分析了. 此后常规步骤省略.

如果严格的话, 我们还需要证明若 $a$ 不满足当前范围, 原命题不成立.(其实就是前面分析导函数的过程) 我们只需要补充: 当 $a$ ...(不满足答案范围)时, $\exists x_0$ 使得 $x \in [0,x_0]$ , ( $f'(x) \leq 0$ , ) $f(x) \leq 0$ 不符合题意.

总的来说就是两个步骤, 第一步先通过端点效应才答案, 第二步使用参数取值范围证明充分性(也可以加上第三步严格证明). 这样我们就能解决 $80\%$ 的含参恒成立问题.(剩下 $20\%$ 端点效应失效)

端点效应失效¶

一般来说, 端点效应一般用于解决函数单调的情况. 那么有什么情况端点效应失效呢? 函数不单调(取得最值的点非端点)时端点效应失效, 大致分为两种:

端点函数值是一个不含参的非零值(所以我们不能由此得到一个关于参数的不等式), 此时我们需要分析极值点
端点处函数值为零, 但不单调, 当前(零)并不是最值, 此时我们需要分析端点与极值点.

端点函数值不含参¶

如果端点效应失效, 那我们只能求导分析极值点. 求导化简后因为含参, 所以一般需要分类讨论. 分类讨论我们需要解不等式, 解不等式的时候我们需要注意完全平方式等化简技巧, 同时如果可以换元则尽量得相对简单. 遇到需要解函对数指数的不等式, 一般一定有技巧可以解, 可以从左边右边对称的角度考虑, 构造形式相同的函数再分析单调性解不等式.

端点值为零但不单调¶

这种更有隐蔽性. 这警示我们对于不单调的函数使用端点效应的时候需要看一看是否有极值点同样卡在边界情况(为零). 如果其极值为零(显然极值大于等于零), 那么就意味着( $x_0$ 为极值点):

$\begin{cases} f(x_0) = 0\\ f'(x_0)=0 \quad (与x轴相切) \end{cases}$

但是, 我们直接求极值一般不方便, 判断端点效应是否失效, 我们一般解方程组:

$\begin{cases} f(x_0) = 0 \\ f'(x_0) = 0 \end{cases}$

两个方程两个未知数, 把含有参数的部分化成一样的形式, 相减消掉参数解 $x_0$ , 若有解(猜根即可)则代表端点效应失效, 解( $x_0$ )即为极值点(非严谨证明, 只是猜测), ---此时极值满足要求可以得到一个关于参数的不等式,--- 如果便于分离参数可以考虑分离参数, 否则带着参数分析整个函数. 求完导之后发现导函数正负不好分析, 考虑能否因式分解(此时导函数难以看出可以因式分解, 但是见到 $x$ 的高次幂其实已经提示过了)