椭圆 (待完善)¶

基础内容:¶

焦点位置: 标准方程分母上的数字哪一个大就在哪一个上面对应字母的轴上. 离心率 $e$ : 刻画椭圆的扁平程度.

$e = \frac{c}{a}, e \in (0, 1)$

当 $e \to 0$ 时, 椭圆越趋近于一个圆( $0$ 比较圆); 当 $e \to 1$ 时, 椭圆越扁( $1$ 比较扁).

定义:¶

第一定义¶

内容: 两定点 $F_1, F_2$ 到一动点 $P$ 距离之和是定值 $2a$ 的点集, 即:

$|PF_1| + |PF_2| = 2a$

求离心率¶

本质: 找 $a, b, c$ 的关系. 补充公式(不用记, 联立 $a^2 = b^2 + c^2$ 与 $e = \frac{c}{a}$ 即可):

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

特殊值法(选填可用): 因为离心率是比值, 所以可以带特殊值(如 $1$ )求离心率. 齐次式: 同时除以 $a^i, i \in \{1, 2, 3, \dots\}$ 整体求解 $e$ . 离心率的求解可能会涉及到一些几何知识, 遇到复杂图形先把图像摆正拿出来, 然后使用全等/对称/几何性质去解决问题. 在解三角形的时候要令未知数尽可能的少, 尽可能往低次化. 很多离心率范围问题能转化成原点 $O$ 或焦点 $F$ 到椭圆上一点 $P$ 的距离问题, 距离 $|OP|$ 满足: $b\le |OP| \le a$ , $|FP|$ 满足: $a-c \le |FP| \le a+c$ . 离心率问题与立体几何结合: 把立体图形通过不同视图转化成平面图像找边的关系.

焦点三角形¶

构造: 两个顶点是焦点, 一个点在椭圆上的三角形. 一般看见一个椭圆上的点连接了一个焦点, 要连接另一个焦点区构造焦点三角形.

找焦点三角形边的比例关系的时候可能需要用解三角形的知识去求 $a, c$ 关系, 忘记的别忘了回顾相关部分.

暴力计算¶

例如求两点/点线之间的距离, 难以用肉眼看出答案, 则需要表示并用函数的思想解决问题.

三角换元¶

对于一个二元二次式(椭圆等方程正是这样的), 建立二次幂于一次幂的联系, 带入消元或运算的时候可能十分麻烦, 我们可以把式子化简成 $A^2 + B^2 = 1$ 的形式, 注意到此形式与 $sin^2x + cos^2x = 1$ 十分相似, 则我们可以令 $\begin{cases} sin\theta = A \\ cos\theta = B \end{cases}$ , 然后用三角函数表示 $x, y$ (化简为 $x = \dots, y = \dots$ ), 来联系三角函数知识化简运算(消元只留下 $\theta$ 一个变量).

求一定点到椭圆上一动点的距离可以使用三角换元.

直线与椭圆的位置关系¶

联立: 求交点坐标/直线椭圆位置关系时联立. 交点个数: 联立消元求 $\Delta$ .

例题: 已知点 $A(0, -2)$ , 椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ , 设过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点.

$I.$ 求 $k$ 的取值范围; $II.$ 设 $M$ 为椭圆 $C$ 的上顶点, 直线 $MP, MQ$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ , 证明: $k_1 \cdot k_2$ 为一个定值; $III.$ $O$ 为坐标原点, 求 $\triangle OPQ$ 面积的最大值; $IV.$ 求 $|PQ|$ 的最大值; $V.$ 设 $G$ 为线段 $PQ$ 的中点, 直线 $OG$ 的斜率为 $k_0$ , 请证明 $k_0 \cdot k$ 为一个定值, 并求出 $G$ 的轨迹方程; $VI.$ 设 $T$ 为点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点, 证明: 直线 $TQ$ 过定点, 并求出定点的坐标; $VII.$ 设 $M, N$ 分别为椭圆 $C$ 的上, 下顶点, $H$ 为直线 $PN$ 与 $MQ$ 的交点, 证明: 点 $H$ 在某定直线上.

解答思路: $I.$ 联立并求满足 $\Delta > 0$ 的 $k$ 的范围即可. $II.$ 联立之后直接求两交点的坐标很麻烦, 我们先设两点坐标 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ , 然后使用韦达定理(根与系数关系)来确定两交点之间的关系. 然后表示结果消元即可, 一定能化简出韦达定理的形式. $III.$ 面积相关的问题要考虑是否可以转化, 通过割补法把动底动高其一转化成固定的线段(往定点上靠). 如果要求有关 $|x_1 - x_2|$ (或者 $x_1 - x_2$ )的表达式, 可以转换成 $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$ 使用韦达定理或化简. $IV.$ 求弦长: 用弦长公式 $|PQ| = \sqrt{1 + k^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}|y_1 - y_2|$ ( $|x_1 - x_2|$ 可以化简为 $\frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$ ), 用完之后会出现一个一次比二次的式子, 需要先把分母放到根号里面再处理. $V.$ 求轨迹方程: 就是求 $x, y$ 之间的关系, 消掉其他参数. 注意轨迹方程是有范围限制的, 比如此题轨迹是一个椭圆, 但只能取在 $C$ 内的部分, 所以要对 $y$ 进行限制. 我们要求出最小的纵坐标, 就需要联立两个椭圆. 相比较于椭圆与直线的联立(二次与一次), 两个圆锥曲线的联立是比较简单的. $VI.$ 定点问题: 圆锥曲线里的很多问题都是可以先猜后证的, 如定点定线/定值问题, 可以通过特殊位置(相切, 过原点/焦点/顶点)/特殊值/对称性/两种情况确定定点定线定值等方法得到答案或满足的条件,