立体几何¶

空间几何体¶

如图为一个四棱锥, 我们使用实线表示可以直接观察到的棱, 虚线表示看不见的棱.

高中阶段涉及到的空间几何体分为:

棱柱: 两个面(底面)平行且全等, 其余各面(侧面)都是平行四边形, 相邻两个四边形公共边(侧棱)相互平行. 我们使用底面各点进行表示, 如 $ABCD - A'B'C'D'$ .

可以按照底面多边形进行分类, 如三棱柱, 四棱柱等. 也可以按照侧棱与底面关系分类, 若侧棱垂直于底面则称为直棱柱, 否则为斜棱柱. 当然, 这两种分类方式可以结合, 如直六棱柱. 特别地, 若底面为正多边形, 如正五边形, 且此棱柱为直棱柱, 则称此棱柱为正五棱柱.

具体地, 我们研究四棱柱. 若底面为平行四边形, 则称其为平行六面体.

棱锥: 有一个面(底面)是多边形, 其余各面(侧面)均为有一个公共顶点的三角形. 我们使用上顶点与底面各点进行表示, 如 $P - ABCD$ .

同理, 我们也可根据底面多边形的边数进行分类. 正棱锥的定义类似于正棱柱, 不仅要求底面为正多边形, 还要求上顶点与底面中心连线垂直于底面.

特殊地, 若三棱锥各个面均为等边三角形, 则此棱锥称为正四面体.

棱台: 我们使用一个平行于底面的平面对棱锥进行切割, 底面与截面间的部分即为棱台. 故棱台上下两底面平行且相似.
圆柱, 圆锥, 圆台: 对于此类几何体, 我们使用旋转的方式进行定义. 分别考虑令矩形, 直角三角形, 直角梯形沿高进行旋转, 得到的空间几何体即为圆柱, 圆锥, 圆台.

故下图情况不为圆柱(圆锥, 圆台同理):

球: 空间内, 到达一点(球心)距离小于等于特定长度的点的集合即球体. 需要注意的是, 球包含其内部的空间, 而非仅球面(球壳).

斜二测画法可以在平面内表示空间几何体. 具体做法为: $y$ 轴与 $x$ 轴成 $45\degree$ , $z$ 轴与 $x$ 轴成 $90\degree$ , 平行于 $x$ 轴线段长度不变, 平行与 $y$ 轴长度减半, 平行于 $z$ 轴线段长度不变.

通过推理可知, 斜二测画法得到的图形面积与原图形面积间的关系为:

$S_原 = 2\sqrt 2S_{斜二测}$

空间几何体的表面积求解的思路为把所有面的面积加和. 对于圆柱, 圆锥, 圆台, 我们需要将其侧面进行展开才方便求解面积. 如下图, 可以类比三角形与梯形记忆扇形与圆环截取部分的面积公式.

球的表面积可以通过以下公式进行计算:

$S_球 = 4\pi r^2 = \pi d^2$

空间几何体的体积可以通过以下公式求解:

$V_柱 = Sh\\V_锥 = \frac{1}{3} Sh\\V_台 = \frac{1}{3}h(S_上 + S_下 + \sqrt{S_上S_下})\\V_球 = \frac{4}{3}\pi r^3$

对于三棱柱, 其体积求解有一定技巧, 即可以转化顶点, 选择方便求解的底面与高进行计算, 在难以确定高的垂足位置或难以求解底面面积时可以考虑. 实际上, 此方法也可称作等体积法, 由此我们可以求出点到平面的距离而不找出垂足的位置. 形象化地, $V_{P - ABC} = V_{A - PBC} = V_{B - APC} = V_{C - ABP}$ .

祖暅(gèng)原理是求解体积的一大工具. 对于夹在两平行平面之间的两个几何体, 当被平行于这两个平面的任意平面所截时, 若截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积必然相等. 简单来说, 就是若每一层的面积都相同, 则整体的体积必然相同.

对于球体积公式的推导即可使用祖暅原理, 如上图. 先推导半球体积. 考虑一个底面半径与球半径相同, 高与球半径相同的圆柱, 并从中截去一个倒置的, 底面全等, 高相等与圆柱的圆锥. 剩余的图形, 在高度为 $h$ 处, 其水平截面的面积为 $S' = \pi (R^2 - h^2)$ ; 半球在高度为 $h$ 处, 其水平截面的面积为 $S = \pi (R^2 - h^2)$ . 易知 $S = S'$ , 故可以使用圆柱体积减去圆锥体积表示半球的体积, 再加倍即可得球的体积.

平行与垂直¶

在立体几何中, 我们使用大写字母 $A, B, C$ 等表示点; 小写字母 $l, m, n$ 等, 或两个点, 如 $AB, BC, CA$ 等表示线; 小写希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma$ 等, 或三个点, 如面 $ABC$ , 面 $BCD$ 等表示面.

在立体几何中, 我们认为点为基本元素, 线与面均为点集. 故我们可以使用集合的符号对点, 线, 面元素间的关系进行表示, 如:

$A \in l, B \notin \alpha$
$m \subset \beta, n \not\subset \gamma$
$p \cap q = D, p \cap \alpha = B, \alpha \cap \beta = r$

注意区分 $\subset$ 与 $\subseteq$ , 在立体几何中, 我们使用前者.

我们使用 $\parallel$ 表示平行, $\perp$ 表示垂直. 当然, 在空间中, 直线除了平行与相交的位置关系外, 若两条直线在不同平面中, 则为异面直线, 它们无法相交, 也非平行. 平面平面是无限延展的, 可以有平行或相交的位置关系.

我们需要了解以下三个基本事实:

过不在一条直线上的三个点, 有且只有一个平面. 即不共线的三点确定一个平面.
若一条直线上的两个点在同一个平面内, 那么这条直线也在这个平面内.
若两个不重合的平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线. 易知两个平面至多一条交线.

以及以下三个推论:

经过一条直线和这个直线外一点, 有且只有一个平面. 即一条线及线外一点可以确定一个平面.
经过两条相交直线, 有且只有一个平面. 即两条相交直线确定一个平面.
经过两条平行直线, 有且只有一个平面. 即两条平行直线确定一个平面. 结合推论 2 可知, 任意两条直线即可确定一个平面.
平行于同一条直线的两直线平行. 即平行具有传递性.
若空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补.

实际上以上事实与推论比较显然, 无需特别记忆.

线面平行¶

线面平行判定定理为: 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 即只需在面上找到与所求直线平行的一条直线, 即可判定线面平行. 线线平行可以推得线面平行. 形式化地:

$\left. \begin{aligned} l \parallel m \\ l \not\subset \alpha \\ m \subset \alpha \end{aligned} \right\} \Rightarrow l \parallel \alpha$

线面平行性质定理为: 一条直线与一个平面平行, 若过该直线的平面与此平面相交, 则该直线与交线平行. 即线面平行可以推得线线平行. 形式化地:

$\left. \begin{aligned} l \parallel \alpha \\ l \subset \beta \\ \alpha \cap \beta = m \end{aligned} \right\} \Rightarrow l \parallel m$

延展平面的方法有两种:

做已有线段的平行线.
延长已有线段.

当遇见不完全截面(即不是所有线段均再空间几何体表面上)时可以考虑先延展平面再进行其他操作.

面面平行¶

面面平行判定定理为: 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行. 即两个线面平行可推得面面平行. 形式化地:

$\left. \begin{aligned} l \parallel \beta \\ m \parallel \beta \\ l \cap m = P \\ l \subset \alpha \\ m \subset \alpha \end{aligned} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$

我们更常用的是以下推论, 由两对线线平行推得面面平行:

$\left. \begin{aligned} l_1 \parallel l_2 \\ m_1 \parallel m_2 \\ l_1 \cap m_1 = S \\ l_2 \cap m_2 = T \\ l_1, m_1 \subset \alpha \\ l_2, m_2 \subset \beta \\ l_1, m_1 \not\subset \beta \end{aligned} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$

可结合线面平行判定定理推得此推论. 当然, 在答题卡中可以直接使用.

面面平行的性质定理有以下三条:

两个平面平行, 若另一个平面与这两个平面相交, 则两条交线平行, 如图. 即面面平行可以推得线线平行.

若两个平面平行, 则一个平面内任意一条直线都和另一个平面平行. 即面面平行可以推得线面平行. 形式化地:

$$ \left. \begin{aligned} \alpha \parallel \beta \ l \subset \alpha \end{aligned} \right} \Rightarrow l \parallel \beta $$

平面平行具有传递性. 即面面平行可以推得面面平行.

辅助线¶

证明线面平行常用思路有两种, 其一为找线线平行. 我们可以找平行四边形来证明线线平行, 也可以找三角形的中位线来证明.

平行四边形的找法为: 如下图, 在所求平面上, 找所求绿色线段平行且等长的粉色线段, 然后连接成为平行四边形, 由此可以转化为求证另外两条黄色线段平行且相等.

中位线的找法为: 如下图, 先找出三角形的顶点 $G$ , 连接所求绿色线段的两端点与 $G$ 点, 红色连线交平面于两蓝点, 要证这两点连线(蓝色线段)与所求绿色线段平行, 只要证蓝点为红线的中点, 或均为 $n$ 等分点即可(平行线分线段成比例, 若为三等分点, 此时常用的一个技巧是借助中心的三等分点的性质, 在立体图形中往往容易忽略连接的两条中线交于中心这个性质).

证明线面平行另一种很常用的思路为, 先证明面面平行. 考虑做平行面. 我们可以如下图, 过绿线端点 $M$ 做蓝色辅助线 $MG$ , 使得蓝线间平行, 再找出粉线 $NG$ 与所求平面上一条粉色线段平行, 即可证明面 $MNG$ 与所求面平行, 由此证 $l$ 与所求面平行.

有时, 我们需要证明线线平行. 我们可以考虑使用平面几何的方式证明, 如平行四边形, 中位线, 平行的传递性等. 我们也可通过线面平行证明, 详见线面平行的性质定理 .

线面垂直¶

线面垂直的性质定理为, 若直线 $l$ 与平面 $alpha$ 垂直, 则 $l$ 与 $\alpha$ 内任意一条直线都垂直. 可以通过如下语言进行描述:

$\left. \begin{aligned} l \perp \alpha \\ m \subset \alpha \end{aligned} \right\}\Rightarrow l \perp m$

线面垂直的判定定理为, 若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直. 可表示为:

$\left. \begin{aligned} l \perp m \\ l \perp n \\ m \cap n = P \end{aligned} \right\}\Rightarrow l \perp \alpha$

故两个线线垂直可以推得线面垂直, 进而推出另一对线线垂直. 故当遇见一个线线垂直的条件时, 不妨尝试寻找另一对线线垂直. 当然, 若所求直线不在线面垂直中的面上时, 不妨利用平行的传递性, 寻找面上与之平行的直线; 当然, 垂直于平面的直线同理, 其平行线亦垂直于平面.

面面垂直¶

面面垂直的判断定理为, 如果一个平面过另一个平面的垂线, 那么这两个平面垂直. 故线面垂直可推出面面垂直, 如下:

$\left. \begin{aligned} l \perp \alpha \\ l \perp \beta \end{aligned} \right\}\Rightarrow \alpha \perp \beta$

面面垂直的性质定理为, 两平面垂直, 若一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直. 若题目给出面面垂直, 那么一定要主动寻找交线以及与之垂直的直线, 进而得到线面垂直, 因为这是为数不多面面垂直的用途. 形式化地:

$\left. \begin{aligned} \alpha \perp \beta \\ \alpha \cap \beta = l \\ m \subset \beta \\ m \perp l \end{aligned} \right\}\Rightarrow m \perp \alpha$

在立体几何中, 一定要尽可能寻找条件多的元素, 这一思想要始终贯彻于解题中. 当然, 垂直条件可能会很多很杂, 此时不妨考虑逆向思维, 从结论出发看看需要使用什么条件, 正反相遇即可完成证明思路的构建.

三垂线定理指, 平面外一条直线 $m$ 向平面投影得到 $n$ , 若另一条直线 $l$ 与投影直线 $n$ 垂直, 则必然与原直线 $m$ 垂直. 如图, 因为 $PP' \perp \alpha$ , 可知 $PP' \perp l$ , 结合 $l \perp n$ , 可知 $l \perp 面 OPP'$ , 故 $l \perp m$ . 当然, 寻找投影的思路也可运用在题目中, 来转化垂直关系. 这个结论在后续也会被用于计算夹角.

在几何图形中可能隐含着垂直关系, 如等腰三角形的三线合一, 菱形的对角线相互垂直等. 特殊地, 若出现 $60^\circ$ 或 $120^\circ$ 的菱形, 则也可以分割为两个等边三角形, 分别使用三线合一, 如图.

下面为底面常见的图形, 其中蕴含着垂直关系. 故建议在解决问题的过程中将底面等几何关系复杂的面化为平面图形画出.

初中所学的几何知识请不要忽视, 全等(得到边或角的关系), 勾股定理(可能可以得到垂直关系, 或利用垂直转化为边长关系, 在有很多边长条件时可以考虑), 倍长中线(倍长中线, 可能构造出平行四边形的一部分(一对全等三角形), 进而导边导角)等技巧都可能用于题目中. 在证明过程中, 对于不完整的面, 应该先延展完整, 来建立更多联系; 某些时候也可自行选取面上的线, 而不仅限于题目中已经给出的线或面的边界.

对于对称关系的利用, 可以考虑对称轴作为中垂线而存在, 或转变为几何图形的对称, 进而得到图形中其他元素的关系. 但对称关系往往隐含在条件与图形中, 需要自己挖掘. 当然, 对称性也可以将关系进行传递.

角度¶

一般默认夹角为较小的角, 其范围为 $[0, \frac{\pi}{2}]$ . 故三角函数均应为正值, 算得负值请取其绝对值.

将两直线平移(或使用中位线等技巧)至相交, 所形成的夹角即为异面直线所成角度, 结合余弦定理等技巧计算即可.

线面角定义为直线与直线在平面上的投影直线所成的夹角, 如图中 $\theta$ .

投影中做 $PP'$ 时, 可以借助面面垂直, 利用 $PP'$ 垂直于交线做出, 如图.

除了直接使用定义计算外, 也可通过等体积法计算, 因为在有些时候 $PP'$ 难以找寻. 实际上 $PP'$ 就是 $P$ 到平面的距离, 故使用三棱锥体积除以底面面积即可得到 $PP'$ . 当然, 求解体积时, 可以使用等体积法, 将顶点转化成更好计算的点, 或使用割补法进行计算. 注意, 三棱锥的选取不一定必须以 $O$ 为顶点, 只要可以计算出 $P$ 到 $\alpha$ 间的距离即可.

注意区分面面角与二面角. 面面角特指两个平面所成夹角, 而二面角具有"方向性", 如图, 其范围为 $[0, \pi]$ , 可以使用类似 $A - PQ - B$ 与 $B - PQ - C$ 的表示方法, 来表示二面角.

根据定义, 二面角可以通过寻找交线在两个面上的垂线, 它们的夹角等于二面角大小. 若不方便直接寻找两条交线的垂线, 可以考虑三垂线定理, 如图, 选取其中一平面上方便的点 $P$ , 向交线引垂线 $PG$ , 然后过 $P$ 向另一面垂线(可以使用线面角时使用的面面垂直方法做出), 得到 $PG$ 的投影直线 $P'G$ , $P'G$ 一定垂直于交线, 如此便寻得了二面角.

上图为一个常见的模型, 可以被称作"鳄鱼小嘴"模型. 其中 $AB = AD$ , $BC = CD$ , 是一个十分对称的图形. 我们经常去 $BD$ 中点, 连接 $GA, GC$ , 有 $BG \perp BD, CG \perp BD$ , 进而可得 $BG \perp 面 ACG$ .

外接球¶

三棱锥一定有外接球, 四棱锥不一定. 三棱锥中, 只有直三棱柱才有外接球.

对于三棱锥, 首先先找到一个面的外心, 则球心必定在过外心且垂直于此面的直线上(外接球半径可以考虑使用正弦定理等方法). 随后, 只需通过列方程等方法, 使得球心到第四点的距离与其他三点一致即可, 如图.

以上是普适的方法. 当然, 特殊的条件有着特殊地找球心的方法. 若三棱锥出现线面垂直, 则垂直于面的直线可以看做一个圆柱的高(母线), 面看做圆柱的底面圆的一个内接三角形, 如图补成一个圆柱体, 即可容易地求出球心位置, 为底面外心正上方, 高度为圆柱高的一半.

若出现正棱锥, 则应将其放到一个圆锥中, 以正多边形的外接圆作为底面, 正棱锥的高作为圆锥的高, 如图即可得出球心位置.

若三棱锥出现面面垂直, 这两个相互垂直的面的外接圆必定位于三棱锥的外接球上, 那么只需过两个外接圆圆心做面的垂线, 交点必为球心. 连接球心与球面上一点即为外接球半径, 想要计算必将其放在直角三角形中, 故如图中, 将 $OA$ 放在 $\triangle AOO_2$ 中. 求出外接圆半径, 列出勾股定理 $OA^2 = OO_2^2 + O_2A^2$ , 发现 $OO_1$ 以及 $O_1A$ 无法使用, 故考虑面面垂直时向交线做垂线, 得到一个矩形 $O_1OO_2G$ , 以及一个新的直角三角形 $\triangle OAG$ (或如图中的 $\triangle OCG$ 也可), 列出第二个勾股定理 $O_1A^2 - GA^2 = OO_2^2 (2GA = AC)$ , 联立即可得出 $OA$ 的长度. 记 $OA = R, O_1A = r_1, O_2A = r_2, AC = l$ , 满足 $R^2 = r_1^2 + r_2^2 - \frac{l^2}{4}$ , 一个十分对称的式子(当然其必然对称, 因为几何图形的对称性决定了).

我们进一步研究更一般地情况, 即已知二面角(包含面面垂直的情况)时三棱锥的外切球. 同理我们如图连接, 易知有 $OA^2 = OG^2 + GA^2$ , 故只需计算 $OG^2$ 即可. 考虑将 $OG$ 放入四边形 $OO_1GO_2$ 中, 如图, 易知其由两个直角三角形组成. 显然我们需要使用 $O_1G^2 = O_1A^2 - AG^2, O_2G^2 = O_2A^2 - AG^2$ 解四边形. 在解四边形时, 我们使用到一个技巧, 即这两个共用斜边的直角三角形共用一个外接圆, 所求 $OG$ 就是外接圆直径, 可以使用正弦定理进行求解, 故考虑连接 $O_1O_2$ , 结合已知的二面角 $\alpha$ , 以及 $O_1G, O_2G$ 通过余弦定理求出 $O_1O_2$ , 并借助正弦定理求出 $OG$ , 代入即可解得 $OA$ . 同样地, 记 $OA = R, O_1G = m, O_2G = n, AC = l$ , 有 $R^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn\cos \alpha}{\sin\alpha} + \frac{l^2}{4}$ , 其中 $m = \sqrt{r_1^2 - \frac{l^2}{4}} , n = \sqrt{r_2^2 - \frac{l^2}{4}}$ . 同样地, 这个式子也十分对称, 但是较难记忆, 故建议掌握推导方式即可.

有时, 若题目没有直接出现上述特征, 也有可能需要通过一系列边长计算或几何推导来得出. 若不能才以最普适的方法进行计算.

若三棱锥中出现墙角模型, 即在一点处有三条两两垂直的直线, 除了将其看做圆柱体外, 还可以将其看做长方体的一部分, 如图.

有时出现两对线线垂直也可将三棱锥放入长方体, 但有时也不一定可以, 需要画图理解.

若一个三棱锥中对棱相等, 则该三棱锥可以放入一个长方体中, 每条棱均为面对角线, 对棱为相对的面不平行的对角线, 如图. 显然满足 $a^2 + b^2 = m^2, b^2 + c^2 = p^2, a^2 + c^2 = q^2$ .

在放入一个圆柱体后, 即可容易地求出球心位置, 且显然外接球直径为长方体体对角线, 外接球半径满足 $4R^2 = a^2 + b^2 + c^2$ .

内切球与棱切球¶

对于十分规则且对称的立体图形, 内切球问题往往可以放入截面内研究平面几何. 更普适地, 也可类比内切圆的等面积法( $r_切 = \frac{2S}{C}$ ), 对三棱锥列出等体积法的式子 $r_切 = \frac{3V}{S_表}$ , 如图, 因为 $V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{1}{3} r (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = \frac{1}{3} r S_表$ .

若等边三角形的边长为 $a$ , 则有 $h = \frac{\sqrt 3}{2}a, S = \frac{\sqrt 3}{4}a^2$ . 若正四面体的棱长为 $a$ , 则有 $h = \frac{\sqrt 6}{3} a, V = \frac{\sqrt 2}{12} a^3$ , 外接球半径 $R = \frac{\sqrt 6}{4}a$ , 内切球半径 $r = \frac{\sqrt 6}{12}a$ . 可以注意到, 对于正四面体有 $R + r = h$ , 即其外接球球心与内切球球心重合与一点, 且根据数据可知球心为高靠下的四等分点.

对于球与球的相切, 两球心以及切点必然三点共线. 若外切则符合 $d = r_1 + r_2$ , 若内切则符合 $d = |r_1 - r_2|$ , $d$ 为两圆心间距. 当然, 若遇见球与球相切, 不妨在切点处插入一个平面, 从而转化为两个立体图形的相切问题, 如图中绿色平面.

棱切球的体积大于内切球, 但小于外接球. 棱切球一般只会出现在高度对称的几何图形中, 否则无法做出. 故在做题时, 若图形对称性极强, 可大胆地认为切点位于棱的中点处, 否则不满足对称性.

特别地, 对于正四面体, 外接球, 内切球与棱切球三个球心重合. 要证明这个结论, 可以根据正四面体对棱相等, 将其放入一个长方体, 更确切的, 正方体中, 则正方体体心就显然同时是正四面体外接球与棱切球(也是正方体的内接球)球心, 而先前已经得到过正四面体内接球与外接球球心重合的结论.

但是, 对于更一般的三棱锥, 则不能认为三个球心重合. 甚至对于较矮的三棱锥, 外接球球心与棱切球球心可能在体外, 需要在计算出负值后做出相应判断.

三点共线与四点共面¶

证明 $A, B, C$ ( $B$ 在线段 $AC$ 上)三点共线可能有以下几种方法:

证明 $AB \parallel BC$ 或 $AB \parallel AC$ :
$\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}$ , 或 $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$ , 即证向量共线;
$k_{AB} = k_{AC}$ , 或 $k_{AB} = k_{BC}$ , 即证斜率相等;
证明任意一点到另外两点所构成的直线距离为 $0$ .
证明 $|AB| + |BC| = |AC|$ ;
证明 $\angle ABC = 180^\circ$ , 或证明存在直线外一点 $D$ 满足 $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$ .

证明 $A, B, C, D$ 四点共面可能比证明三点共线更为复杂, 但很多方法均为三点共线的推广. 证明四点共面, 可能有以下几种方法:

证三点共线. 若三点共线, 显然这条直线与第四点组成一个平面. 更强地, 若四点共线, 那么四点必然共面.
证平行. 以 $AB, CD$ 为例, 连接 $AB, CD$ , 若 $AB \parallel CD$ 则四点共面, 如图, 其余连接方法同理, 一组平行关系即可判断共面.

证明任意一点到另外三点所构成的平面距离为 $0$ .
证明法向量平行. 以平面 $ABC$ 与平面 $BCD$ 为例, 若能证明 $\vec n_{ABC} \parallel \vec n_{BCD}$ , 则四点共面(因为有公共点的存在, 不可能平行, 如图), 其余平面选取方式同理.

平面向量基本定理. 以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ 为例, 如图, 若能证明 $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AD}$ , 则四点共面, 其他向量选取方式同理. 一般来说, 可以假设 $\lambda$ 与 $\mu$ , 通过坐标对应相等解方程组得到一组解. 当然, 方程组中只有两个未知数, 但有三个方程, 故第三个方程可以用于检验解的正确性.

平面向量基本定理的推论(两方式等价). 取空间中一点 $O$ , 连接 $OA, OB, OC, OD$ , 若令 $\overrightarrow{OD} = a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC}$ (其他向量选取方式同理), 有 $a + b + c = 1$ , 则四点共面.

空间向量¶

我们已经在平面向量(超链接待补全)章节讲解过向量, 此处不在赘述.

空间向量的基本定理为, 若 $\vec a, \vec b, \vec c$ 是空间中三个不共面的向量, 那么对于空间中任意一个向量 $\vec p$ , 都存在唯一的一组有序实数 $x, y, z$ 满足 $\vec p = x \vec a + y \vec b + z \vec c$ . 其中 $\{\vec a, \vec b, \vec c\}$ 为空间中的一组基底. 这可以与平面向量的基本定理进行类比.

在平面几何中, 我们长把图形内部的向量用外围的向量进行表示, 这在空间向量中同样适用. 考虑将立体图形内部的向量使用外侧的向量进行表示, 从而实现化简. 这种基底与"绕行"的方法, 在建系后求坐标以及难以建系时十分好用.

对于立体几何中的问题, 有三种基本的思路, 要么使用几何法进行解题; 要么在多个条件集中在一点时, 或图形歪斜时使用基底法; 要么建系计算坐标.

建系法, 即建立空间直角坐标系, 需要三个两两垂直的坐标轴, 形成一个类似"墙角"的形状. 我们一般建立右手系. 将竖直的轴作为 $z$ 轴, 右手伸直后逐渐弯曲, 先扫过的为 $x$ 轴, 后扫过的为 $y$ 轴. 如图.

有时墙角是倒置在上方的, 需要仔细观察并将其正置后建系. 相信做题多的同学一定已经在前面外接球的墙角模型(圆柱模型)里见过此类技巧(上顶点的墙角考虑正放到下面, 然后再补成长方体或圆柱).

不论点还是向量, 它们的坐标均需要使用有序三元组进行表示. 与平面向量类似地, 若 $\vec a = (1, 1, 4), \vec b = (5, 1, 4)$ , 那么 $|\vec b| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{42}, \vec a - 2 \vec b = (-9, -1, -4), \vec a \cdot \vec b = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 = 22$ .

我们可以使用直线的方向向量, 即任意与直线平行的向量对直线进行表示; 可以使用法向量 $\vec n$ , 即任意与平面垂直的向量对平面进行表示.

对于向量平行, 请回忆, 当且仅当 $\vec a = \lambda \vec b, \lambda \ne 0$ 时两向量平行(共线). 当且仅当 $\vec a \cdot \vec b = 0$ 时两向量垂直.

故证明线线平行, 只需证明两方向向量平行; 证明线面平行, 只需证明方向向量与法向量垂直; 证明面面平行, 只需证明两法向量平行. 同理, 证明线线垂直, 只需证明两方向向量垂直; 证明线面垂直, 只需证明方向向量与法向量平行; 证明面面垂直, 只需证明两法向量垂直.

若要求平面的法向量, 只需求出平面内任意两个不平行的向量, 以 $\vec a = (1, 1, 4), \vec b = (5, 1, 4)$ 为例, 设 $\vec n = (x, y, z)$ , 通过如下方程组解出法向量坐标(两个方程解不出三个未知数, 但法向量长度任意, 故在仅剩两个未知数时可以任意假设其一, 但不能假设为 0 , 未出现的未知数也不能假设):

$\begin{aligned} & \begin{cases} \vec a \cdot \vec n = 0 \\ \vec b \cdot \vec n = 0 \end{cases}\\ \Rightarrow & \begin{cases} x + y + 4z = 0 \\ 5x + y + 4z = 0 \\ \end{cases}\\ \Rightarrow & \begin{cases} 4x = 0 \\ 4y + 16z = 0 \\ \end{cases}\\ \xRightarrow{假设 z = 1} & \begin{cases} x = 0 \\ y = -4 \\ z = 1 \end{cases}\\ \Rightarrow & \vec n = (0, -4, 1) \end{aligned}$

当然, 法向量并不唯一, 这只是一种可能的情况. 我们更倾向于将法向量伸缩, 以使用正整数坐标的法向量. 当然, 在计算时也有相应的技巧, 如上文中 $\vec a = (1, 1, 4), \vec b = (5, 1, 4)$ , 不妨变为 $\vec b - \vec a = (4, 0, 0), 5\vec a - \vec b = (0, 4, 16)$ (线性运算后的结果仍然在平面内), 构造出尽可能多的 $0$ 坐标(实际上就是消元), 再以这两个向量计算法向量, 这样在解方程时会更简便(但实际上只是将解方程的计算量提前了, 并不会真正简化什么计算).

如果你追求更快速的法向量计算方法, 可以使用如下的计算方法(向量叉乘), 但是我们不建议你这样做, 因为可能会被扣除相应的步骤分:

每个向量写两遍;
掐头去尾留中间;
交叉相乘再相减;
最后伸缩与化简.

其本质是:

$\begin{aligned} \vec n =& \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \\ =& (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1) \end{aligned}$

注意, 在建系前, 需要说明三个坐标轴两两垂直, 并指出建系时的原点, 以及坐标轴分别对应那条直线.

对于线段上的动点, 可以使用 $\vec a \parallel \vec p \Rightarrow \vec p = \lambda \vec a$ 设其坐标.

对于角度的计算:

线线角 $\theta$ , 已知两方向向量 $\vec a, \vec b$ , 如图画图易知两向量夹角与线线角相等或互补, 由于夹角的范围, 故 $\cos \theta = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a|\ |\vec b|}$ , 进而可求 $\sin \theta$ 与 $\tan \theta$ 的值(同样取绝对值, 因其必为正).

线面角 $\theta$ , 已知方向向量 $\vec a$ 和法向量 $\vec n$ , 如图画图易知两向量夹角与线面角互余(或相差 $\frac{\pi}{2}$ ), 由于夹角的范围, 故 $\sin \theta = \frac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a|\ |\vec n|}$ , 进而可求 $\cos \theta$ 与 $\tan \theta$ 的值(同样取绝对值, 因其必为正).

面面角 $\theta$ , 已知两法向量 $\vec n, \vec m$ , 画图易知两向量夹角与面面角相等或互补, 由于夹角的范围, 故 $\cos \theta = \frac{|\vec n \cdot \vec m|}{|\vec n|\ |\vec m|}$ , 进而可求 $\sin \theta$ 与 $\tan \theta$ 的值(同样取绝对值, 因其必为正).
二面角 $\theta$ , 画图有以下三种情况, 法向量方向并不能说明角度, 且由于二面角的取值范围, 其余弦值可能为负, 故需要先判断二面角究竟为钝角还是锐角或直角. 一般来说, 我们采用瞪眼法进行判断, 即直接通过视觉来猜测二面角大小. 故 $\cos \theta = \pm \frac{|\vec n \cdot \vec m|}{|\vec n|\ |\vec m|}$ , 若为钝角则为负, 锐角则为正, 直角则为零. 进而可求 $\sin \theta$ 的值(可以直接取绝对值而不判断角度大小, 因其必为正). 二面角的正切值正负显然与余弦值正负一致.

总的来说, 只要是夹角就需要取绝对值(二面角的余弦值(或正切值)是特例, 其正负需要单独判断); 若涉及元素不同则需要变名(线面角是特例, 涉及到线与面).

实际上, 在求线线角时, 除了使用建系法与基底法之外, 还可以使用三向量平方和的特殊方法, 如下.

在上图基本模型中, 已知数据均标注, 想要求 $|CD|$ , 只需利用 $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ 绕行, 并平方利用角度, 即 $\overrightarrow{CD}^2 = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD})^2 = m^2 + d^2 + n^2 + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = m^2 + d^2 + n^2 + 2md\cos\alpha + 2dn\cos\beta + 2mn\cos\theta$ , 如此就可以解出 $|CD|$ . 同理, 若已知 $|CD|$ 而不知其中一角度的话, 可以利用上述方法将角度解出. 题目往往会将这个基本模型隐藏在复杂的立体图形中. 故可以发现, 此技巧十分简便, 但往往难以看出, 故当你遇见求两条异面线段夹角, 且两条线段两端点首尾相连构成封闭图形, 涉及的四条线段长度均已知, 且已知四条线段中任意两个夹角时, 可以使用此方法求解. 有时, 绕行的路径所涉及的向量也需仔细挑选, 尽量走已知角度多的向量才更有可能套用三向量平方和的方法.

在学习距离的计算之前, 我们需要掌握一些投影有关的概念, 如图:

$\vec a$ 方向上的单位向量 $\vec e = \frac{\vec a}{|\vec a|}$ .
$\vec a$ 在 $l$ 上的投影长度 $|\overrightarrow{AG}| = ||\overrightarrow{AP}|\cos \theta| = |\vec a \cdot \vec u|$ (由于是长度故加绝对值), 其中 $\vec u$ 为 $l$ 上的单位向量, 需要通过其他向量或其他方式进行计算.
$\vec a$ 在 $l$ 上的投影向量 $\overrightarrow{AG} = (\vec a \cdot \vec u) \vec u$ ( $\vec u$ 的含义与上文相同, 由于需要保留方向故不取绝对值).
$\vec a$ 在面 $\alpha$ 上的投影向量的长度 $|\overrightarrow{AG}| = |\vec a \cdot \vec u|$ (由于是长度故加绝对值).

对于距离(默认指元素之间的最小距离)的计算:

点点距离 $|PQ|$ , 直接使用两点间距离公式 $|PQ| = \sqrt{(x_P - x_Q)^2 + (y_P - y_Q)^2 + (z_P - z_Q)^2}$ 即可.
点线距离 $|PG|$ , 有时题目不会连接 $AP$ 与 $PG$ , 需要先寻找 $AP, PG$ , 借助投影长度, 如图, 只需使用一个勾股定理即可得到 $|PG| = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - (\overrightarrow{AP} \cdot \vec u)^2}$ .

当然, 点到直线的距离也可使用等面积法或放到三角形中解三角形进行求解.

点面距离 $|PG|$ , 同样需要自行寻找 $AP, PG$ , 求 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\vec n$ 上的投影长度 $|PG| = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec n|}{|\vec n|}$ (由于长度故取绝对值)即可, 如图.

当然, 点到平面的距离也可使用等体积法或放到三角形中解三角形进行求解.

线面距离, 特指相互平行的直线与平面间的距离(否则距离为零), 故只需在直线上任取方便计算的一点, 求此点到平面的距离即可.
面面距离, 同样地, 只有相互平行的平面之间的距离才不为零, 故只需在其中一平面上取方便计算的任意一点, 求此点到另一平面的距离即可.
线线距离 $d$ , 若两直线相交, 则距离为零; 若两直线平行, 则距离可以用几何知识计算, 或转化为点到直线的距离进行计算; 若两直线为异面直线, 则需要寻找两直线的公垂线, 公垂线与两条直线均垂直, 公垂线的长度就是两直线间的距离 $d$ (故公垂线一定是两直线间任意连线的最短距离). 所以, 不妨设公垂线方向向量为 $\vec n$ , 两直线方向向量分别为 $\vec a, \vec b$ , 可以列出 $\begin{cases}\vec a \cdot \vec n = 0\\ \vec b \cdot \vec n = 0 \end{cases}$ , 如求解法向量一般得到一个非零的 $\vec n$ , 然后在两条直线上分别任取方便计算的 $A, B$ 两点, 与上文点面距离类似地, 作图求解 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\vec n$ 上的投影长度, 可以得到 $d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec n|}{|\vec n|}$ . 这个式子的形式与点面距离一致.

当然, 若有更新颖的设问, 以下思路也可借鉴, 即在其中一条直线上设一点(用 $\vec a = \lambda \vec b$ 设), 将此点到另一直线的距离表示为一个函数, 求出所得到的函数的最小值即为公垂线长度.

在翻折问题中, 要注意翻着前后某些角度与长度(和)不变. 很多点随翻折的轨迹是一个圆, 向翻折的轴做垂线, 垂足即为圆心.