动力学¶

牛顿第二定律为, $F_合 = ma$ . 故物体合外力不为零, 必然有加速度; 物体有加速度, 必然有合外力, 且它们总是方向相同. 使用牛顿第二定律, 只需将平衡所列的等式中不平衡的方向, 替换为 $F_合 = ma = F_{大} - F_{小}$ 即可.

在正交分解时, 若研究方向与加速度方平行或垂直, 请以加速度方向为轴建系, 而非优先使较多的力位于轴上. 若研究方向与加速度方向不同, 可以正交分解加速度, 分别在两个方向列牛顿第二定律.

牛二可以将力学与运动学联系, 从而衍生出一系列问题, 如拉力的最短作用时间等. 此类题目需要将力的条件翻译为运动学条件进行解题.

如图, 小球落在一弹簧上, 则小球刚接触弹簧时, 速度向下, 由于 $F_N < mg$ , 故加速度也向下, 做向下的加速运动; 直到某处 $F_N = mg$ , 此时 $a = 0$ , $v$ 取得最大值(很多时候, $a = 0$ 时 $v$ 会取得最值); 此后 $F_N > mg$ , 故加速度向上, 速度向下, 做向下的减速运动, 直至停止. 反向的运动同理可分析.

如图, 在一辆有加速度的车内, 小球与车的加速度保持一致, 故绳子出现倾角. 进行受力分析即可. 如此做我们可以不用考虑惯性, 以免出错. 在车内的物块同理, 需要摩擦力提供加速度, 以保持与车的加速度一致.

很多时候, 恰好分离意味着弹力为零, 且加速度相同. 在很多临界的分析中, 两物体加速度相等很容易被忽略但往往是解题关键.

在有些时候, 我们需要解形如 $\begin{cases}F\sin\theta = F'\\F\cos\theta = F''\end{cases}$ 的方程组($F', F''$ 已知, 其余未知), 此时为消掉三角函数, 考虑两式平方后相加, 即 $F^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = F^2 = F'^2 + F''^2$ .

若物体加速度向上(或其正交分解后有向上的分量), 则称物体处于超重状态; 若物体加速度向下(或其正交分解后有向下的分量), 则为失重状态. 特别地, 若物体加速度为 $g$ (竖直向下), 则称物体完全失重. 裤子湿了往下看

突变问题注意, 绳子或杆子弹力或静摩擦力可以突变, 但弹簧弹力不能, 因为弹簧弹力与其形变量有关, 动摩擦力也不能突变, 因为动摩擦力只与是否相对运动有关, 突变瞬间速度与位移均不改变. 故只需在突变前后进行受力分析即可解题.

对于多物体的牛二, 多个物体间会产生相互作用力. 若它们加速度相同, 不妨将其看做一个整体, 即可忽略相互作用, 快速求解加速度. 可以看做整体, 当且仅当 a 相同(大小与方向). 注意, 不是速度相同, 故一个物体静止一个物体匀速运动也可看做整体. 实际上, 加速度不同也可看做整体, 但难以理解, 故建议使用隔离法. 若选用隔离法, 受力分析需要先从受力较少(一般为接触面少)的物体开始分析, 即便不是目标物体(因为如此可以先求解出相互作用力).

在牛二中, 若物体相对地面静止, 且无运动的趋势(a = 0), 则其平衡, 即便其相对其他物体移动.

在如图的斜面模型中, M 的受力既有向左又有向右的力, 故难以直接定性分析 M 受地面摩擦力方向, 需要定量计算. 考虑将 $f$ 与 $F_N$ 合成全反力(斜面对物块的合力), 如此就可以根据物块的加速度方向得到全反力的相关方向, 进而定性分析 M 受摩擦力方向.

若物体能在斜面上匀速下滑, 现向其施加一外力 $F$ , 物体仍然下滑, 求地面对斜面的摩擦力方向. 此处我们并未对下滑的加速/减速/匀速进行限制, 因为这并不重要(不会影响到斜面对物块的 $\mu$, 即不改变全反力方向), 除非物体向上运动, 摩擦力反向(当然若向上运动则题目会更加简单, 通过受力易知地面给予的摩擦力一定向左). 可以注意到, 不论物块做何种运动, 全反力方向总不变, 只有大小改变, 同时由于 F 不会直接作用在 M 上(请不要单纯地认为出现 F 一定会影响到 M), 故 M 的受力方向均不变, 全反力方向仍然为竖直方向, 故地面不会给 M 任何摩擦力. 可以注意到, 结论与斜面粗糙程度(斜面对物块的 $\mu$)有关, 最开始的例子中, 物体的加速/减速下滑, 是由于斜面粗糙程度的不同, 所导致的全反力方向不同, 全反力不在竖直方向, 便使得 M 受向左或向右的分力, 从而引发了地面所给的摩擦力.

多物体牛二¶

连接体与叠加体模型是多物体牛二中常见的模型. 对于连接体, 即两物体通过绳相连, 或两物体直接相接触, 则显然它们加速度相同. 通过分析, 可以得出, 总有 $F_N = \frac{m_A}{m_A + m_B}F$ , 其中 $F_N$ 为绳子拉力或弹力, $F$ 为外力施加在 B 物体上, $m_A$ 一定为不受 F 的物体. 此结论不受斜面倾角(当然也可水平或竖直)以及接触面是否粗糙影响. 若 $A$ 与 $B$ 物体分别受力 $F_A$ 与 $F_B$, 可以对结论进行推广, 得到 $F_N = \frac{m_AF_B + m_BF_A}{m_A + m_B}$ . 当然, F 有时也会以重力等形式隐藏起来, 如图.

下图也为连接体模型, 注意对整体法的利用, 即可使用上述结论, 求得红线处两物块的相互作用力. 在遇见此类十分多个物体时, 要善用整体法.

当我们不确定两物体加速度是否相同时, 不妨假设它们加速度不同, 分别令一者加速度大一者加速度小, 再反过来, 若均出现不合理情况, 则加速度应相同.

实际上, 连接体与叠加体的本质区别在于, 连接体通过弹力将两物体关联, 而叠加体通过摩擦力将两物体关联. 但本质相同, 故它们的公式一致. 在叠加体中, 两物体叠放在一起, 不论在水平地面还是斜坡上, 若光滑, 均有 $f = \frac{m_A}{m_A + m_B}F$ , 且使用技巧与连接体相似; 但是, 请注意, 若地面或斜坡粗糙, 则 $f = \frac{m_A}{m_A + m_B}F - \mu m_下g$ , 其中 $m_下$ 为 A, B 中在下方的物体质量. 出现此种原因, 从根本上来说, 是因为地面摩擦力只对下方的物体生效, 而对上方的物体无此效果, 进而导致了不对称情况出现. 但对于连接体, 地面粗糙对两物体均有影响, 故结论一致; 对于在斜面时, 不论是连接体还是叠加体, 两物体均倾斜, 所受影响一致, 故结论保持对称.

在多物体牛二中, f 达到最大静摩擦力, $F_N = 0$ 等均为常见的临界条件. a 相同在很多时候也是临界的一个隐藏条件, 且由于 a 相同, 此时仍然可以使用整体法求解外力.

如图, 地面光滑, 木块间摩擦系数为 $\mu$ , 在 $F$ 的作用下, 四个物体以同一加速度运动, 求绳子拉力最大值.

显然, 最大值在某一摩擦力达到最大静摩擦力时取得. 记左侧为 l, 右侧为 r, 根据上述结论, 因加速度一致, 不妨先将 2, 3, 4 物体看做整体, 与 1 通过摩擦力联系, 则 $f_r = \frac{m_2 + m_3 + m_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}F$ . 然后继续将 1, 2, 4 作为整体, 有 $f_l = \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}F$ . 注意到, $f_r = \frac{m_2 + m_3 + m_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} F > \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} F = f_l$ , 且 $\mu m_1g = \mu m_3g$ , 则必然为右侧摩擦力首先达到最大静摩擦力. 后续的分析十分简便, 只需将 $f_r$ 带入 $\mu m_1g$ 即可计算此时的 $F = \frac{6}{5} \mu mg$ , 然后将 1, 2 看做整体, 3, 4 作为整体, 根据结论易知 $F_N = \frac{m_3 + m_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}F$ (当然你也可以将四个物体作为整体计算加速度求解), 即算得绳子最大拉力为 $\frac{3}{5} \mu mg$ . 实际上, 很多同学在遇见此类题目时感到无从下手, 不知哪侧率先达到临界, 不妨试试假设某侧先达到临界, 计算此时的 F 大小. F 越大则说明此侧相对滑动需要更大的 F , 即随着 F 增大, 相较另一侧更晚出现相对滑动, 于是可以判定右侧先相对滑动, 来替代上述结论的使用过程.

等时圆¶

上图为等时圆模型, 一物体沿光滑杆滑下, 到圆上时, 其所花费的时间相同. 当然, 我们也可如下图将其倒置, 仍符合此规律. 总之, 只要起点在圆的最高点或终点在圆的最低点, 则所花费的时间相同. 可以推导出, $t = \sqrt{\frac{4R}{g}}$ , 请读者自行尝试推导(提示, 尝试设 $R$ 为圆的半径, $\theta$ 为倾斜角, 后续会约掉; 连接以直径为斜边的直角三角形).

实际上, 对于此类多轨道的题目分析, 更一般的思想是设物理量(相同且公用的物理量(如半径, 相同的底, 相同的高等), 以及角度(比起长度, 更倾向于设角)), 推导表达式分析. 但我们也可应用等时圆模型快速解题. 如下图(轨道光滑), 可以做出等时圆, 发现倾斜角更大的轨道, 除了走完等时圆内的路程外, 还需格外走更多路程, 依此同理分析后续, 可知倾斜角越大, 所花费的时间也越大. 本题表达式请读者自行推导. 不过, 请不要单纯地认为路程越长, 速度越大, 请见第二个例题.

如上图可以同理分析, 但请注意分析结果为时间随倾斜角增加而先减小后增大, 因推导其表达式为 $t = \frac{4L}{g\sin 2\theta}, \theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ , 且当倾斜角为 $45^\circ$ 时, 所花费的时间最少. 这是直线的最速降线, 但若不限直线, 则存在如下的最速降线.

如图, 从 A 点到斜面上, 求一条直线, 使得物体能最快从 A 下滑到斜面上. 不妨以 A 为圆的最高点做等时圆与斜面相切, 此时连接 A 与 切点, 即为所求直线. 求解相关物理量, 只需对几何条件进行分析即可.

传送带模型¶

在受力发生改变时受力分析. 在斜面传送带上, 注意物体能否自发下滑.

在传送带与后续的板块模型中, 物体间相对的物理量是很重要的. 你可以分别计算并作差, 或置换参考系直接计算得出.

划痕只有发生相对位移才会产生, 共速时不产生划痕. 但注意, 多段划痕之间会产生重叠, 进而导致最后看到的, 只是最长的一段划痕(可能由多段划痕拼合而成). 故需要对物体运动过程准确把握才能正确分析. 如图, AB 段为划痕, 但 AC 段为最终的相对位移, 二者不相等.

传送带模型中, 最值问题通常与变速运动与匀速运动(或另一段变速运动)的临界点有关. 如物体以最短时间从起点移动到终点, 求传送带的最小速度, 只需令二者在终点恰好共速即可.

实际上, 临界的思想可以化简很多运算. 如图, 物体从 A 运动到 B, $\mu = 0.2$ , 初速度为 $5 m/s$ , 传送带长 $4 m$ , 若传送带速度为 $v$ , 求物体末速度 $v_t$ . 显然可以使用运动学进行分析, 但在此之前, 不妨尝试计算一直加速与一直减速的临界情况, 可能会化简计算. 易得当 $v_1 = \sqrt{41} m/s$ 时物体一直加速, $v_2 = 3 m/s$ 时物体一直减速, 故若 $v > v_1 = \sqrt{41} m/s$ 时, $v_t = v_1 = \sqrt{41} m/s$ , 若 $v < v_2 = 3 m/s$ 时物体一直减速, 故若 $v < v_2 = 3 m/s$ 时, $v_t = v_2 = 3 m/s$ . 若 $v_2 < v < v_1$ , 则物体必定与传送带匀速到达 B 点, 故 $v_t = v$ . 如此, 我们没有进行运动学复杂的多段运算, 只是计算了临界情况, 就得出了物体的末速度. 当然, 两个临界情况不是全部需要计算的, 如果物体初速度大于传送带速度, 则物体减速, 只需计算一直减速时的临界, 看物体从初速度减速到临界是否跨过传送带速度, 若跨过则只能减到传送带速度, 否则可以减到临界速度; 若物体初速度等于传送带速度, 则物体速度始终与传送带速度一致; 若物体初速度小于传送带速度, 则物体加速, 只需计算加速时的临界, 看物体从初速度加速到临界是否跨过传送带速度, 若跨过则只能加到传送带速度, 否则可以加到临界速度.

板块模型¶

两个物体叠放在一起, 构成了板块模型. 在无外力时, 若板块之间有 $\mu_2$ , 板与地面间有 $\mu_1$ , 则若 $\mu_1 \le \mu_2$ , 则板块会一起运动, 保持共速, 可看做整体; 否则会出现相对滑动. 以上结论在有外力时不能使用. 若光滑, 不妨认为 $\mu = 0$ 进行比较. 这种方法可以成为钩子法, 可以理解为用于判定板块能否被"钩"在一起.

板的最小长度, 使物块不掉下去, 只需求板块间的最大相对位移即可. 外力的作用时间最值, 只需令最终二者在板的端点处共速即可.