冲量与动量¶

~~提醒: 内容较多, 不建议暴饮暴食以免消化不良.~~

冲量¶

基本公式:

$I = F \cdot t$

单位:

$N \cdot s$

标/矢量:

$矢量$

意义:

$力在时间上的累积效应$

概念	标/矢量	公式	合成
功	标量	$W = F \cdot x \cdot cos\theta$	标量相加(数字加减)
冲量	矢量	$I = F \cdot t$	矢量相加( $I_合 = F_合 \cdot t$ )

若力是变力:

$使用 F - t 图像, 与 x 轴围成的面积就是 I$

动量¶

定义:

$这个物体在它运动方向上保持运动的趋势$

公式:

$p = m \cdot v$

单位:

$kg \cdot m /s$

标/矢量:

$矢量, 方向与v相同$

何时改变(对比动能的只有 $v$ 大小变):

$只要v改变(大小/方向), p就改变$

动量变化率:

$\frac{\Delta p}{\Delta t} = F_合$

动量变化量(矢量式, 需规定正方向, 算出来的正负号表示方向):

$\Delta p = m \cdot (v_t - v_0)$

动能与动量转化式:

$E_k = \frac{p^2}{2m}$

动量定理¶

表达式(需要规定正方向, $F_合 = F_{正方向力} - F_{负方向力}$ , $\Delta p$ 带正负号):

$F_合 \cdot t = m \cdot (v_t - v_0)$

实际应用:

$\Delta p的大小不变, t越大, F_合越小, 起保护作用(缓冲)$

用处:

$求 \Delta p, 对于碰撞/爆炸问题求平均合外力/作用力/加速度$

动量守恒定律¶

表达式:

$p_初 = p_末 (m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2')$

前提:

$系统不受外力, 或外力矢量和为零(即F_合 = 0)$

衍生情况均可用动量守恒:

$因为是矢量式, 所以可以对单一方向列动量守恒(此方向F_合 = 0)$
$系统内力远大于外力(如爆炸, 反冲, 碰撞)$

判断是否动量守恒:

$结构简单受力分析并抵消相互作用力, 结构复杂整体分析, F_{y合}是否为零看加速度$

判断是否机械能守恒:

$有发热即不守恒$

碰撞¶

定律:

$动量守恒定律(不论有无能量损失)$

条件(求速度范围可能会用):

$后者速度大于前者$

区分:

$能量变化$

弹性碰撞¶

定义:

$碰撞时无能量(动能损失)$

特点:

$能量守恒$

操作方法: 列

$\begin{cases} m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1'+m_2v_2' & \qquad(动量守恒)(1)\\ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2& \qquad(能量守恒) \end{cases}$

化简得:

$v_1 + v_1' = v_2 + v_2'\qquad(2)$

即:

$\begin{cases} v_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2}\\ v_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{cases}$

建议使用联立 $(1)(2)$ 的方式求解, 或使用图像法相似三角形, 或置换参考系化为一动一静, 或直接背过公式, 但不论如何都要有动量守恒和能量守恒的式子. 下面给出一动碰一静的速度表达式( $v_2 = 0$ ):

$\begin{cases} v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1}{m_1 + m_2}\\ v_2' = \frac{2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{cases}$

可以发现 $v_2'$ 一定是正数, $v_1'$ 正负与质量和初速度有关系(所以判断反不反弹就是去算出 $v_1'$ , 看正负号即可) 若 $m_2 \to +\infty$ , $v_2 = 0$ , 则 $v_1' = v_1$ , $v_2' = 0$ 若 $m_1 = m_2$ (可以一动碰一动), 则 $v_1' = v_2$ , $v_2' = v_1$ (速度交换) 草稿纸上弹性碰撞 计算化简 (图像法相似三角形): $v_共$ , 使用 $v_1' = 2v_共 - v_1$ , $v_2' = 2v_共 - v_2$

非弹性碰撞¶

定义:

$碰撞时有能量损失, 动能转化为内能(或弹性势能)$

损失的能量(动能定理):

$E_损 = Q = E_初 - E_末$

完全非弹性碰撞¶

定义:

$能量损失最大(并非完全损失所有动能)$

特点:

$碰撞之后黏在一起(共速)$

动量守恒题目分类:¶

弹性模型(动量守恒 $+$ 动能守恒): $v_1' = 2v_共 - v_1$ , $v_2' = 2v_共 - v_2$
共速模型(相对静止, 动量守恒 $+$ 能量损失): 损失去向: 发热量, 重力势能, 弹性势能(不考虑光, 声等)
爆炸模型(动量守恒 $+$ 生成能量): 能量来源: 重力势能, 弹性势能, 化学能(爆炸)
人船模型(初动量$ = 0$的动量守恒, 涉及位移): $m_人x_人 = m_船x_船, x_人 + x_船 = x_{相对}$
凹槽模型: 综合运用

人船模型¶

特点(判断, 不一定非得严格人船/水平方向, 背景可以很广):

$p_初 = 0$

由动量守恒可得:

$0 = m_1v_1 + m_2v_2$

乘时间 $t$ 得:

$m_1x_1 = m_2x_2(人动船动, 人停船停)$

联立人相对船位移(船长, 假设船不动看人的位移):

$\begin{cases} m_1x_1 = m_2x_2\\ x_1 + x_2 = x_{相对} \end{cases}$

联立解得答案(出现 $m_总 = m_1 + m_2$ 在分母上大概率是正确答案, ~~所以我们要善于总结如何猜答案以及一些简化思维路径的结论 (逃)~~ ):

$\begin{cases} x_1 = \frac{m_2 \cdot x_{相对}}{m_总}\\ x_2 = \frac{m_1 \cdot x_{相对}}{m_总} \end{cases}$

注意如果只有水平方向动量守恒位移也需要水平方向上的(竖直同理).

爆炸模型¶

特点(判断):

$动能增加, 内力远大于外力$

凹槽模型¶

凹槽, 即 $1/4$ 圆弧, 满足水平方向动量守恒.

出发点在底部¶

(上升共速模型+回到底部弹性模型(凹槽光滑, 水平部分不光滑动能定理具体算即可)) 当小球运动到最高点, 小球即将做斜抛运动. 小球 相对凹槽水平方向 静止 (水平共速), 动能变为重力势能, 列动能定理求 $v_共$ , 列动能定理求能量. 小球落下时恰好落在凹槽上, 因为水平共速. 求返回到底部的速度分别是多少, 就是一个弹性模型, 列动能定理和动量守恒. 问从底部脱离凹槽做什么运动, 就是问即将脱离时小球的速度, 看其正负号(代表平抛方向/自由落体)即可.

出发点在顶部¶

(下落爆炸模型, 能量来源: 重力势能; 同时还有人船模型, 因为有"$0 = $") 没有难点, 直接列动能定理和动量守恒即可.

速度与动量取值范围¶

能够碰撞的条件:

动量守恒
对于 $A$ 物体撞 $B$ 物体: 碰撞前 $v_A > v_B$ , 碰撞后 $v_a < v_B$ (碰撞只会发生一次)
能量 $E_{碰前} \geq E_{碰后}$

$(i) \quad$ 速度可能得取值: 最小为完全非弹性碰撞(能量损失最大)时取得, 最大为弹性碰撞(无能量损失)时取得. 符合: $v \in [共速, 弹性] (非严格表达, 下同)$ , 条件: 没有任何末状态限制. 当然问速度大小最小值, 如果能取到 $0$ 那么一定是 $0$ 而不是负数(问大小的时候最大最小看的是绝对值).

$(ii) \quad$ 损失能量: $v \in [弹性(0), 共速(最大)]$ . 比较显然.

$(iii) \quad$ 动量变化量 : 当 $m$ 未知时: 假定 $A$ 追击 $B$ , 由于质量未知, 我们可以先令 $m_B \to + \infty$ , 即类似 $A$ 撞墙, 原速原动量返回, $B$ 不动动量不变 $(*)$ , 且因为是趋近所以不能取等. 令 $v_A \to v_B^+$ , 则二者可以相撞且 $p_A$ 在相撞后几乎不变, 同时动量守恒 $B$ 也几乎不变 $(*)$ (趋近不能取等). 综上我们可以得到 $A$ 动量变化量范围: $(-2p_A, 0)$ . 不同的, $B$ 的动量变化量取决于 $A$ (后面的物体), 只有后面物体的动量是有效值, 即 $(0, 2p_A)$ (上面两处 $"*"$ 解释 $0$ 的取等条件, $B$ 的动量只能由 $A$ 转移来, 大小一定为 $A$ 的大小), 保证了动量守恒. 已知 $m$ 本质就是求速度(可以确切求出来), 不属于本类题目.

*以上所有内容均为个人整理的 $黄夫人$ 公开课程笔记