冲量与动量¶

冲量¶

基本公式: $$I = F \cdot t$$ 单位: $$N \cdot s$$ 标/矢量: $$矢量$$ 意义: $$力在时间上的累积效应$$ |概念 |标/矢量|公式 |合成 | |:-:|:--:|:---------:|:----------:| |功 |标量 |$W = F \cdot x \cdot \cos\theta$|标量相加(数字加减)| |冲量 |矢量 |$I = F \cdot t$ |矢量相加($I_合 = F_合 \cdot t$)|

若力是变力: $$使用 F - t 图像, 与 x 轴围成的面积就是 I$$

动量¶

定义: $$这个物体在它运动方向上保持运动的趋势$$ 公式: $$p = m \cdot v$$ 单位: $$kg \cdot m /s$$ 标/矢量: $$矢量, 方向与v相同$$ 何时改变(对比动能的只有$v$大小变): $$只要v改变(大小/方向), p就改变$$ 动量变化率: $$\frac{\Delta p}{\Delta t} = F_合$$ 动量变化量(矢量式, 需规定正方向, 算出来的正负号表示方向): $$\Delta p = m \cdot (v_t - v_0)$$ 动能与动量转化式: $$E_k = \frac{p^2}{2m}$$

动量定理¶

表达式(需要规定正方向, $F_合 = F_{正方向力} - F_{负方向力}$, $\Delta p$ 带正负号): $$F_合 \cdot t = m \cdot (v_t - v_0)$$ 实际应用: $$ \Delta p的大小不变, t越大, F_合越小, 起保护作用(缓冲)$$ 用处: $$求 \Delta p, 对于碰撞/爆炸问题求平均合外力/作用力/加速度$$

动量守恒定律¶

表达式: $$p_初 = p_末 (m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2')$$ 前提: $$系统不受外力, 或外力矢量和为零(即F_合 = 0)$$ 衍生情况均可用动量守恒: 1. $$因为是矢量式, 所以可以对单一方向列动量守恒(此方向F_合 = 0)$$ 2. $$系统内力远大于外力(如爆炸, 反冲, 碰撞)$$ 判断是否动量守恒: $$结构简单受力分析并抵消相互作用力, 结构复杂整体分析, F_{y合}是否为零看加速度$$ 判断是否机械能守恒: $$有发热即不守恒$$

碰撞¶

定律: $$动量守恒定律(不论有无能量损失)$$ 条件(求速度范围可能会用): $$后者速度大于前者$$ 区分: $$能量变化$$

弹性碰撞¶

定义: $$碰撞时无能量(动能损失)$$ 特点: $$能量守恒$$ 操作方法: 列 $$\begin{cases} m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1'+m_2v_2' & \qquad(动量守恒)(1)\\ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2& \qquad(能量守恒) \end{cases}$$ 化简得: $$v_1 + v_1' = v_2 + v_2'\qquad(2)$$ 即: $$\begin{cases} v_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2}\\ v_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{cases}$$ 建议使用联立$(1)(2)$的方式求解, 或使用图像法相似三角形, 或置换参考系化为一动一静, 或直接背过公式, 但不论如何都要有动量守恒和能量守恒的式子.
下面给出一动碰一静的速度表达式($v_2 = 0$): $$\begin{cases} v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1}{m_1 + m_2}\\ v_2' = \frac{2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{cases}$$ 可以发现$v_2'$一定是正数, $v_1'$正负与质量和初速度有关系(所以判断反不反弹就是去算出$v_1'$, 看正负号即可)
若$m_2 \to +\infty$, $v_2 = 0$, 则$v_1' = v_1$, $v_2' = 0$
若$m_1 = m_2$(可以一动碰一动), 则$v_1' = v_2$, $v_2' = v_1$(速度交换)
草稿纸上弹性碰撞 计算化简 (图像法相似三角形): $v_共$, 使用$v_1' = 2v_共 - v_1$, $v_2' = 2v_共 - v_2$

非弹性碰撞¶

定义: $$碰撞时有能量损失, 动能转化为内能(或弹性势能)$$ 损失的能量(动能定理): $$E_损 = Q = E_初 - E_末$$

完全非弹性碰撞¶

定义: $$能量损失最大(并非完全损失所有动能)$$ 特点: $$碰撞之后黏在一起(共速)$$

动量守恒题目分类:¶

1. 弹性模型(动量守恒$+$动能守恒): $v_1' = 2v_共 - v_1$, $v_2' = 2v_共 - v_2$
2. 共速模型(相对静止, 动量守恒$+$能量损失): 损失去向: 发热量, 重力势能, 弹性势能(不考虑光, 声等)
3. 爆炸模型(动量守恒$+$生成能量): 能量来源: 重力势能, 弹性势能, 化学能(爆炸)
4. 人船模型(初动量$ = 0$的动量守恒, 涉及位移): $m_人x_人 = m_船x_船, x_人 + x_船 = x_{相对}$
5. 凹槽模型: 综合运用

人船模型¶

特点(判断, 不一定非得严格人船/水平方向, 背景可以很广): $$p_初 = 0$$ 由动量守恒可得: $$0 = m_1v_1 + m_2v_2$$ 乘时间$t$得: $$m_1x_1 = m_2x_2(人动船动, 人停船停)$$ 联立人相对船位移(船长, 假设船不动看人的位移): $$\begin{cases} m_1x_1 = m_2x_2\\ x_1 + x_2 = x_{相对} \end{cases}$$ 联立解得答案(出现$m_总 = m_1 + m_2$在分母上大概率是正确答案, 所以我们要善于总结如何猜答案以及一些简化思维路径的结论 (逃) ): $$\begin{cases} x_1 = \frac{m_2 \cdot x_{相对}}{m_总}\\ x_2 = \frac{m_1 \cdot x_{相对}}{m_总} \end{cases}$$ 注意 如果只有水平方向动量守恒位移也需要水平方向上的(竖直同理).

爆炸模型¶

特点(判断): $$动能增加, 内力远大于外力$$

凹槽模型¶

凹槽, 即$1/4$圆弧, 满足水平方向动量守恒.

出发点在底部¶

(上升共速模型+回到底部弹性模型(凹槽光滑, 水平部分不光滑动能定理具体算即可))
当小球运动到最高点, 小球即将做斜抛运动. 小球 相对凹槽水平方向 静止 (水平共速), 动能变为重力势能, 列动能定理求$v_共$, 列动能定理求能量.
小球落下时恰好落在凹槽上, 因为水平共速. 求返回到底部的速度分别是多少, 就是一个弹性模型, 列动能定理和动量守恒. 问从底部脱离凹槽做什么运动, 就是问即将脱离时小球的速度, 看其正负号(代表平抛方向/自由落体)即可.

出发点在顶部¶

(下落爆炸模型, 能量来源: 重力势能; 同时还有人船模型, 因为有"$0 = $")
没有难点, 直接列动能定理和动量守恒即可.

速度与动量取值范围¶

能够碰撞的条件: 1. 动量守恒 2. 对于$A$物体撞$B$物体: 碰撞前$v_A > v_B$, 碰撞后$v_a < v_B$(碰撞只会发生一次) 3. 能量$E_{碰前} \geq E_{碰后}$

$(i) \quad$速度可能得取值: 最小为完全非弹性碰撞(能量损失最大)时取得, 最大为弹性碰撞(无能量损失)时取得. 符合: $v \in [共速, 弹性] (非严格表达, 下同)$, 条件: 没有任何末状态限制. 当然问速度大小最小值, 如果能取到$0$那么一定是$0$而不是负数(问大小的时候最大最小看的是绝对值).

$(ii) \quad$损失能量: $v \in [弹性(0), 共速(最大)]$. 比较显然.

$(iii) \quad$动量变化 量 :
当$m$未知时: 假定$A$追击$B$, 由于质量未知, 我们可以先令$m_B \to + \infty$, 即类似$A$撞墙, 原速原动量返回, $B$不动动量不变$(*)$, 且因为是趋近所以不能取等. 令$v_A \to v_B^+$, 则二者可以相撞且$p_A$在相撞后几乎不变, 同时动量守恒$B$也几乎不变$(*)$(趋近不能取等). 综上我们可以得到$A$动量变化 量 范围: $(-2p_A, 0)$. 不同的, $B$的动量变化 量 取决于$A$(后面的物体), 只有后面物体的动量是有效值, 即$(0, 2p_A)$(上面两处$"*"$解释$0$的取等条件, $B$的动量只能由$A$转移来, 大小一定为$A$的大小), 保证了动量守恒.
已知$m$本质就是求速度(可以确切求出来), 不属于本类题目.