磁场¶

通电导线周围会产生磁场. 我们可以使用右手螺旋定则(安培定则)判断其产生磁场的方向.

• 对于直导线, 我们如图摆右手以判定, 大拇指指向电流方向, 四指方向即导线周围环形磁场的方向. 对于环形磁场线上任意一点, 其方向为切线方向, 且需要与圆上箭头方向顺应.

• 对于通电螺线圈, 类似地, 我们使用右手四指指向电流旋转的方向(不方便判断时, 可在已有箭头对侧或导线其他部位引入一个箭头), 大拇指即指向磁场方向.

通电螺线圈形成的磁场与条形磁铁相同, 使用右手螺旋定则只能判断其内部磁场方向, 外部由于磁感线闭合, 会绕回另一侧从而闭合. 故线圈穿入与穿出的磁感线条数相同. 这种等效成为条形磁铁的方法是一种简化题目的方式.

在物理学中, 若需要表示垂直纸面方向的物理量的方向, 我们使用 $\bullet$ 与 $\times$ . $\bullet$ 表示方向垂直于纸面向外, $\times$ 表示方向垂直于纸面向内, 使用口诀 "叉入点出" 来记忆. 或者, 你可以认为 $\bullet$ 是一个箭头, $\times$ 是带着羽毛的箭尾, 发挥空间想象, 箭指向的方向就是表示的方向. 我们在磁场部分介绍这两个符号, 不代表这两个符号只能描述磁场. 实际上, 这是十分通用的表示方式.

安培力¶

通电导线放在磁场中会受到安培力. 由于安培力的存在, 我们考虑使用磁感应强度 $B$ 描述磁场的强弱, 单位 $T$ (特斯拉, 简称特) . 我们使用如下的比值定义式进行定义:

变形可得安培力的公式:

实际上, 此公式要求 $B$ 与 $I$ 垂直. 若二者平行, 则不产生安培力; 若成一定角度, 则需要正交分解, 只考虑垂直方向上的分量. 由于 $F$ 是由于 $B$ 与 $I$ 而产生的, 则其方向被确定为垂直于 $B$ 且垂直于 $I$ .

安培力的方向可以使用左手定则进行判断. 如图摆放左手, 即, 磁感线穿(插入)掌心, 四指指电流方向, 拇指方向即为安培力的方向.

高中磁场中, 左手定则涉及到里的判断, 而右手定则不涉及力, 故选用左右手时使用口诀 "左力右电" .

安培力公式中 $L$ 的意义为有效长度, 而非导线的总长度. 对于一段弯折的导线, 求其有效长度, 需要先等效为一段直导线, 从起点指向终点. 由此我们可以得到等效长度, 并判断安培力的大小与方向. 需要注意的是, 使用左手定则时四指需要指向等效直导线电流的方向.

当你找出等效长度后, 题目可能在电流大小上设置陷阱, 要注意支路与电阻对电流大小造成的影响.

对于立体图, 使用左手定则前考虑将其转化为平面图.

上图为两根相反的通电导线, $I_1$ 由于 $I_2$ 产生的磁场从而受向左的安培力, 由于力的作用是相互的, 则 $I_2$ 也受等大的向右的安培力. 不论二者电流孰大孰小, 二者所受安培力一定等大. 二者均受向外侧的力, 故 $I_1, I_2$ 分离. 若使两根导线同向, 同理可知, 二者相互吸引. 故通电导线间符合: 同种方向相互吸引, 异种方向相互排斥. 且距离越近受力越大. 故有人认为通电导线与其他同性相斥异性相吸的"异性恋", 它们是"同性恋".

在一些题目中此方法十分方便. 实际上, 导线不一定是直的, 只要满足方向相同, 线圈等也适用. 由此可知通电螺线管比通电前长度缩短, 因为每一圈都是同向电流, 相互吸引.

导线转动问题看导线两端的受力即可, 若有多方向的运动, 它们一般同时发生, 但我们可以先假设一个发生完成, 以此为基础去分析另一运动, 会更简便. 实际上, 通电导线间更倾向于靠近. 即倾向于转向同向的方向. 但宏观上存在特例, 如图, 蓝色通电导线上方存在一根由钉子固定, 可自由旋转的导线. 对于钉子类题目, 将其拆分为上下两段, 两端均倾向于顺时针旋转至同向, 但由于下方一段距离水平导线更近, 受力更大, 故上方导线整体在钉子下方受向右的力. 由于钉子作为支点, 上方导线变为逆时针转动, 从而与下方导线反向.

当我们需要分析磁铁的受力时, 考虑转换研究对象分析, 分析另一物体(一般为通电导线)的受力, 然后通过相互作用力来分析磁铁.

磁感线¶

小磁针 $N$ 极方向与磁感线方向相同. 磁感线的方向表示了磁场的方向, 在磁体外部由北极指向南极, 在磁体内部由南极指向北极, 从而实现磁感线的闭合. 磁感线的疏密可以代表磁感应强度的强弱. 磁感线的条数可以粗糙的比较磁通量的大小.

磁感线是假想的模型, 现实中不存在.

地球中存在地磁场, 地理南极为地磁北极, 地理北极为地磁南极. 故指南针才能实现南极指南, 北极指北.

地球可以看做一块巨大的条形磁铁, 故在两极地区磁感线方向近似竖直; 而在赤道地区磁感线近似水平.

在解决地磁场相关问题时, 我们一般不选用地球来画图, 而是使用地图, 即上北下南左西右东的俯视图. 我们可以很方便地在地图上画出粒子的移动方向与磁感线方向.

洛伦兹力¶

安培力可以看做通电导线中很多电荷均受洛伦兹力的合力, 它们本质是相同的. 洛伦兹力满足以下公式:

洛伦兹力方向与速度垂直, 可以通过左手定则进行判断, 因为其涉及到了力. 我们可以按照以下步骤进行操作:

1. 磁感线穿掌心;
2. 对于正电荷, 四指指向速度方向; 对于负电荷, 四指指向速度的反方向;
3. 拇指为洛伦兹力方向.

由于洛伦兹力垂直于速度, 故其用不做功. 因此常在磁场中见到做匀速圆周运动的带电粒子.

有时我们可能发现洛伦兹力做功的假象, 实际上为洛伦兹力的分力在做功. 此类题目仅会告诉我们分速度方向以诱导我们, 我们需要先分析出合速度方向, 再去判断洛伦兹力方向.

由于洛伦兹力的大小与速度有关, 故变速运动可能会导致受力发生改变, 我们需要讨论初速度大小(偏大/偏小/恰好), 以确定初始受力; 同时需要注意后续受力情况是否发生改变, 来判断运动(加速度)是否改变.

磁场中的圆周运动¶

带电粒子在磁场中做圆周运动的基础为 $F_向 = f_洛$ . 经推导易知:

• $r = \frac{mv}{qB}$
• $T = \frac{2\pi m}{qB}$ (推导需要通过上式, 否则无法利用 $f_洛 = qvB$ )

可以发现周期与速度无关, 也并非轨迹越长运动时间越长.

我们可以依此设计出质谱仪, 如图:

在质谱仪前, 我们使用了速度选择器, 只有速度满足 $v = \frac{E}{B}$ 才能通过速度选择器而不击中金属板. 在质谱仪中, 比荷(荷质比) $\frac{q}{m}$ 决定了粒子所做圆周运动的半径与时间, 即决定了击中胶片的位置.

很多时候我们需要确定圆周运动的轨迹, 在已知入射方向时, 可以选择性使用以下步骤:

1. 连接 入射点与出射点(需要已知入射点与出射点, 自己连接), 入射角 = 出射角, 如图. (此处入射角与出射角特指入射点与出射点 连线 与入射或出射方向的夹角, 而 非 磁场边界与入射或出射方向的夹角, 且此夹角不一定为锐角, 向偏转方向与连线所形成的角才是入射角)

在未知末状态方向时需要考虑. 其存在推论: 在圆形磁场中, 径向(沿半径方向)射入一定径向射出.

1. 画入射与出射速度的垂线, 找到圆心.
2. 圆心角 = 速度偏转角 = $2 \times$ 入射角 = $2 \times$ 出射角, 在已知初末状态后快速得到圆心角. 不一定必须使用入射角或出射角进行计算, 也可通过其他几何条件得到速度偏转角, 从而得到圆心角.

当然, 若有必要, 你也可以灵活选用中垂线, 角平分线等工具来寻找出射方向或确定圆心及圆心角.

有时题目会已知粒子的运动轨迹, 求使其如此运动的最小圆形或矩形等磁场面积. 我们首先找到运动轨迹(弧)所对的弦, 圆形磁场的最小面积为以弦为直径时所得出的面积, 如图一蓝色区域; 矩形磁场以弦作为一条边, 其对边恰好与弧相切, 此时面积最小, 如图二粉色区域.

放缩圆¶

若题目出现入射方向已知, 大小可变的条件, 我们需要先确定出射点状态. 注意到粒子轨迹为大小不同的圆, 故考虑对一个圆进行放缩, 找出所有的情况并分类讨论. 一般来说, 会存在粒子从不同边界射出的情况, 故需要寻找临界情况, 即轨迹与磁场边界相切时. 使用相切的条件得到一个速度的角度, 从而确定圆心, 由此求解最值或临界情况.

粒子在磁场中运动的时间最大值, 当且仅当入射点与出射点在同一磁场边界(称为原边)时取到, 且只要满足此条件, 在同一条原边上, 无论如何放缩圆, 磁场内运动时间均相等(因为对于同一磁场同一粒子, 所用时间只与圆心角有关, 在原边离开磁场代表速度偏转角相同, 圆心角相同). 若未击中原边就离开磁场, 其轨迹一定较击中原边的情况不完整, 故所用时间变短.

旋转圆¶

若题目中已知初速度大小, 但方向可变(任意), 故无法通过初速度方向寻找圆心.

我们画出初始两个最特殊方向对应的轨迹, 即初速度水平向左与水平向右(粒子带正电), 得到始末状态. 初速度水平向左则直接偏转出磁场; 水平向右则如图一, 做完整的圆周运动. 现在考虑将此圆绕 $O$ 点滚动旋转, 其边缘在磁场中形成如图二的阴影, 即粒子可能经过的区域.

此阴影可以看做由一个半圆与由直径扫过所形成的扇形所形成的区域, 因为旋转直径较旋转一整个圆简单. 可以打到最远的距离就为直径, 可在左侧的扇形中取得.

旋转圆的题目中经常不会告诉角度, 但会已知边长关系. 需要通过边长比例与三角函数推出角度关系.

求粒子在磁场中运动时间的最大值, 大部分时候都是入射角尽可能大且回到原边时的临界情况, 一般为相切的时候取得, 与放缩圆相同.

若求从某一边界出射的时间的最值, 看弦长即可, 即入射点与出射点的连线长度. 如图, 对于圆心角小于 $180\degree$ 时, 符合蓝色部分, 弦越长, 圆心角越大, 即对于同一粒子出射特定边的时间越长; 若圆心角大于 $180\degree$ (较少见), 则此结论相反, 符合红色部分, 弦越长, 圆心角越小, 所用时间就越短. 如此寻找到的最值一般在相切或弦与边界垂直时取到.

我们一般使用以上方法判断最小值, 因为最长时间一般发生在沿边界射入时的边界情况. (当然你也可以使用此方法验证最长时间的正确性)